Lösung: Wir sollen die Anzahl der unterschiedlichen Sequenzen bestimmen, in denen Alice 4 identische Äpfel (A), 5 identische Bananen (B) und 3 identische Orangen (O) essen kann. Die Gesamtanzahl der essgewerdeten Früchte beträgt $4 + 5 + 3 = 12$.
["Lösung: Wie viele unterschiedliche Essfolgen gibt es für 4 identische Äpfel, 5 identische Bananen und 3 identische Orangen?", "Wenn Alice eine Sammlung mehrerer identischer Früchte isst, podrá die Anzahl der möglichen Essfolgen nicht einfach durch einfache Permutationen berechnet werden – denn identische Früchte der gleichen Sorte sind untereinander vertauschbar, ohne dass sich der Ablauf ändert. Hier zeigt sich die Bedeutung der Multinomialkoeffizienten.", "---", "### Das Problem verstehen", "Alice isst insgesamt\n$$\n4\ \ ext{Äpfel (A)} + 5\ \ ext{Bananen (B)} + 3\ \ ext{Orangen (O)} = 12\ \ ext{Früchte}\n$$\nDie Aufgabe lautet: In wie vielen verschiedenen Folgen kann sie alle 12 Früchte essen, wobei innerhalb jeder Sortensorte die Früchte nicht zu unterscheiden sind?", "---", "### Warum keine einfache Kombination?", "Wenn alle Früchte einzigartig wären, gäbe es $12!$ Permutationen. Da Äpfel untereinander austauschbar sind, Bananen untereinander und Orangen untereinander, muss diese Überzählung dividiert werden.", "Die Formel für die Anzahl der verschiedenen Sequenzen einer Multimenge lautet:", "$$\n\frac{12!}{4! \cdot 5! \cdot 3!}\n$$", "Dies berücksichtigt:", "- $12!$: Gesamtanzahl möglicher Reihenfolgen, wenn alle Früchte verschieden\n- Division durch $4!$: weil 4 identische Äpfel untereinander vertauschbar sind\n- Division durch $5!$: weil 5 identische Bananen untereinander vertauschbar sind\n- Division durch $3!$: weil 3 identische Orangen untereinander vertauschbar sind", "---", "### Schrittweise Berechnung", "Berechnen wir den Wert:", "1. Fakultäten berechnen", "$$\n12! = 479001600 \\n5! = 120,\quad 4! = 24,\quad 3! = 6\n$$", "2. Nenner berechnen", "$$\n4! \cdot 5! \cdot 3! = 24 \cdot 120 \cdot 6 = 17280\n$$", "3. Ergebnis", "$$\n\frac{479001600}{17280} = 27720\n$$", "---", "### Fazit", "Die Anzahl aller unterschiedlichen Esssequenzen, in denen Alice 4 identische Äpfel, 5 identische Bananen und 3 identische Orangen essen kann, beträgt:", "$$\n\boxed{27720}\n$$", "Diese Lösung nutzt die Kombinatorik für Permutationen mit indistinguierbaren Objekten – ein elegantes Beispiel dafür, wie Formeln die Vielfalt von Sequenzen berechnen, wenn Teile gleich sind."]
